Function [函數]

수학의 여러 분야에서 사용되는 기본 개념으로, 형식의미론을 논하는 데 있어서 필수적 개념. 함수 f는 X라는 집합(set)의 각 원소 x에 Y라는 집합의 한 원소 y를 할당하는 규칙이다. 이때 집합 X를 함수 f의 정의역(domain)이라 하고, Y를 공변역(codomain), x를 논항(argument), x에 할당된 y를 값(value)이라 하며, 값을 모아 놓은 집합 즉 x와 연결된 y의 집합을 치역(range)이라 한다. 이러한 관계(relation)를 표현하는 방법이 여러 가지 있는데, 가장 기본적인 방법은 나열법이다.

이러한 나열식은 정의역이 제한되어 있을 때는 가능하지만, 정의역이 클 때는 불편하거나 불가능하다. 이를 표현하는 가장 편리한 방법은 f(x)=2x+1처럼 쓰는 것이다. 이 표현의 의미는 'x에서 f의 값을 찾기 위해 2에 x를 곱하고 다시 1을 더하라'는 것이다. 

함수를 집합으로 정의할 수도 있는데, 함수는 관계의 특수한 경우이다. 즉 집합 X에서 Y로 가는 함수 f는 정의역이 X이고, 집합 X의 각 원소 x에 대해 (x, y) f인 집합 Y의 한 원소 y가 있는 관계 f이다. 예를 들어 집합 A={a, b, c}와 집합 B={1, 2, 3, 4}로 부터 얻을 수 있는 관계, 즉 순서쌍(ordered pair)은 다음과 같다.

(2)

순서쌍을 원소로 하는 집합 가운데 C, D, E는 함수이지만, F와 G는 함수가 아니다.

함수가 특별한 관계로 정의되어 x에 대해 유일한 값 y를 갖도록 하는데, (x, y) f와 (x, z) f려면, y=z가 성립한다고 표현할 수 있다. 함수는 이러한 조건을 반드시 지켜야 하는데, 이때 정의역의 모든 원소가 값을 갖는 함수를 전함수(total function)라 하고 f: A → B라 나타내며, 정의역의 일부만이 값을 갖는 관계를 부분함수(partial function)라 하고 f: A   B라 나타낸다. 

 정의역과 공변역 또는 치역의 관계에 따라 함수를 구분하기도 하는데, 공변역과 치역이 같으면 '위로 함수'(onto function), 치역이 공변역의 부분집합이면 '안으로 함수'(into function)라 한다. 안으로 함수 가운데 정의역의 어떠한 원소도 서로 같은 값을 갖는 경우가 없으면 이를 일대일함수(one-to-one function), 일대일함수이면서 위로 함수이면 이를 일대일대응(one-to-one correspondence)이라 한다.