Extension [外延]

똑 같은 지시를 갖는 표현이 자유롭게 서로 대치가 가능하면, 두 표현의 외연이 같다고 한다. 다음 추론 과정을 통해 모든 표현이 외연적이지는 않다는 것을 알 수 있다.

(1) a. Isolde thinks that Tristan is admirable.
     b. Tristan is the murderer of Isolde's fianc.
     c. Isolde thinks the murderer of her fianc is admirable.

위의 추론은 옳지 못한데, 만약 동사 think가 외연적 동사라면 내포문의 주어를 같은 지시를 갖는 것으로 대치하여도 진리치가 바뀌지 않을 것이다. Tristan이 Isolde의 약혼자를 죽였다는 가정하에서 Tristan is admirable과 The murderer of Isolde's fianc is admirable는 같다. 그러나 Isolde thinks that Tristan is admirable과 Isolde thinks that the murderer of her fianc is admirable은 진리치가 서로 다를 수 있다. 여기서 이러한 차이를 유발하는 유일힌 표현은 think로, 이 동사는 내포 동사이다. 

보통명사, 타동사, 한정사, 접속사 등도 모두 외연성을 갖는다. 다음은 접속사의 예이다.

 John talks and Mary strides.
 Mary strides if and only if John stays at home.  
∴ John talks and John stays at home.

 위의 예에서 볼 수 있는 바와 같이 똑같은 외연을 갖는 표현은 서로 대치되더라도 의미가 변하지 않는다. 술어논리는 외연에 근거한 체계로 이러한 대치를 허용한다.

 유형이론(type theory)에서는 유형과 관련하여 해석을 하게 되는데, 유형은 다음 둘에 의해 정의된다.

(2) a. 기본범주: e(개체), t(진리치)
     b. 파생범주: A와  B가 범주이면, (A, B)도 범주이다.
   
 고유명사, 한정명사, 그리고 문장의 유형은 각각 e와 t로서 간단하다. 다른 표현의 경우를 보자. 먼저 보통명사나 자동사의 유형은 (e, t)로서 개체를 취하여 진리치는 얻는다. 이러한 함수를 특성함수(characteristic function)라 하는데, 이 경우에 개체의 집합과 동일하다. 즉, 예를 들어 자동사 walk의 의미는 '걷는 사람의 집합'이다. 마찬가지로 apples의 의미는 '사과의 집합'이다. 타동사는 개체와 개체의 2항관계이다. 예를 들어 love의 의미는 '사랑하는 자'와 '사람받는 자'의 관계를 갖는 쌍을 모아 놓은 집합이다. 한정사도 마찬가지로 2항관계인데, 개체의 집합 간의 관계이다. 마지막으로 접속사도 2항관계로, 진리치에서 진리치의 집합으로 가는 함수이다.