Logical relation [論理關係]

일상생활에서 여러 가지 관계가 성립하는데, 예를 들어, 'a는 b의 친구이다', 'a는 b의 자식이다' 등에서 a와 b 사이에는 어떤 관계가 성립한다. 이러한 관계를 논리학의 입장에서 기준을 설정하고 정리, 분리한 것을 논리관계라 한다.
 

1. 관계에 참여하는 항의 수에 따른 분류. 위에 든 예는 모두 a와 b 둘 사이의 관계인데, 이를 2항관계(dyadic relation)라 하며, 여기에 쓰이는 술어를 2항술어(dyadic predicate)라 한다. 'a가 b에게 c를 준다'는 3항관계(triadic relation)라 하며, 논리적으로는 4항관계, 5항관계 등이 가능하지만, 자연언어를 취급하는 경우에 4항 이상이 관계하는 경우는 없으며, 일반적으로 n항관계(n-adic relation)라 한다. 특히, 1항술어는 관계로 정의되지 않고, 속성(property)으로 나타내므로 논리관계에서는 다루지 않는다.

2. 대칭성(symmetry)에 따른 분류. (a) 대칭관계(symmetric reation). a가 b에 대해 관계 R을 가지며, 또한 b가 a에 대해 역시 관계 R을 가지면, a와 b는 R에 대해 대칭관계를 갖는다. 따라서 R(a, b) R(b, a), 또는 aRb bRa로 나타낼 수 있다. 예를 들어 'a가 b와 같다'가 성립하면, 'b가 a와 같다'도 성립하므로, '같다'는 대칭관계이다. 'a가 b의 친구다'가 성립하면, 'b가 a의 친구다'도 성립하므로, '…의 친구다'도 대칭관계이다. 마찬가지로 'as tall as', '…의 형제다' 등도 대칭관계이다. (b) 비대칭관계(asymmetric relation). a가 b에 대해 관계 R을 가질 때, b가 a에 대해 역의 관계 R-1을 가질 경우, R을 비대칭관계라 한다. 따라서 R(a, b) R-1(b, a), 또는 aRb bRa로 표시하는데, a가 b에 대해 R의 관계를 가지면, b가 a에 대해 R의 관계가 하나라도 있으면 안 된다. 예를 들어 'a가 b보다 크다'가 참이면 'b가 a보다 크다'는 거짓이다. 즉 'b가 a보다 작다'가 성립하므로 '…보다 크다'는 비대칭관계이다. 'a가 b의 아버지다'가 참이면, 그 역이 성립하지 않으며, 'b가 a의 자식이다'가 참이므로 '…의 아버지다'도 비대칭관계이다. 일반적으로 'S+V+O' 구문에서 S와 O가 V에 대해 비대칭관계를 가지며, 지배결속이론의 공범주원리에서 중요한 개념이다. (c) 부대칭관계(non-symmetric relation). a가 b에 대해 관계 R을 가질 때, b가 a에 대해 R의 관계를 갖지 않는 경우가 있으면 R을 부대칭관계라 한다. 예를 들어 'a loves b'가 성립할 때, 'b loves a' 또는 'b doesn't love a' 그 어느 쪽이 성립하는지 알 수 없으므로 'love'는 부대칭관계이다. 한국어의 '형, 오빠, 누나' 등이 비대칭인 반면, 영어의 'is a sister of, is a brother of'는 부대칭관계이다.

3. 전이성(transitivity)에 따른 분류. (a) 전이관계(transitive relation). R(a, b)와 R(b, c)가 성립하면, 반드시 R(a, c)가 성립하는 관계로 '…보다 크다', '…와 같다'는 전이관계이다. (b) 비전이관계(intransitive relation). R(a, b)와 R(b, c)가 성립할 때, R(a, c)의 성립 여부를 단정할 수 없는 관계로, '…의 아버지다', '…의 두 배다' 등이 이에 속한다. (c) 부전이관계(non-transitive relation). R(a, b)와 R(b, c)가 성립할 때 R(a, c)의 관계를 단정할 수 없는 경우로, '…의 친구다', '…의 선생이다' 등이 이에 속한다.

4. 재귀성(reflexivity)에 따른 분류. (a) 재귀관계(reflexive relation). 자신에 대해 반드시 성립하는 관계로, R(a, a)로 나타낸다. '…와 나이가 같다', 'has the same hair color as'가 이에 속한다. (b) 비재귀관계(irreflexive relation). 자신에 대해 성립하지 못하는 관계로, '…의 아버지다', '…보다 크다' 등이 이에 속한다. (c) 부재귀관계(non-reflexive relation). 자신에 대해 성립하는 경우도 있도, 성립하지 않는 경우도 있는 관계로, '…를 죽이다', 'is a financial supporter of' 등이 이에 속한다